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2017年八年级数学上期中试卷及答案

日期:2019-09-24 07:50:22

  期中考试在即,同学们复习好了吗?下面是小编整理的2017年八年级数学上期中试卷及答案,欢迎测试!

  2017年八年级数学上期中试卷及答案

  一、选择题:每小题3分,共36分。请把正确答案的序号填入表中。

  1.若分式 有意义,则x的取值应满足( )

  A.x≠3 B.x≠4 C.x≠-4 D.x≠-3

  2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )

  A. B. C. D.

  3.若 ,则M的值是( )

  A.x-1 B.x+1 C. D.1

  4.下列图形中,△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )

  A. B. C. D.

  5.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是( )

  A.105° B.120° C.135° D.150°

  6.下列式子中,是分式的是( )

  A. B. C. D.-

  7.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是( )

  A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短

  C.两点确定一条直线 D.垂线段最短

  8.下列条件中一定能使△ABC≌△DEF成立的是( )

  A.两边对应相等 B.面积相等 C.三边对应相等 D.周长相等

  9.下列说法:①全等三角形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长相等,面积不相等,其中正确的为( )

  A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④

  10.如图,△ACB≌△A1CB1,∠BCB1=40°,则∠ACA1的度数为( )

  A.20° B.30° C.35° D.40°

  11.如图所示,BD、AC交于点O,若OA=OD,用SAS说明△AOB≌△DOC,还需( )

  A.AB=DC B.OB=OC C.∠BAD=∠ADC D.∠AOB=∠DOC

  12.利用尺规作图不能唯一作出三角形的是( )

  A.已知三边 B.已知两边及夹角

  C.已知两角及夹边 D.已知两边及其中一边的对角

  二、填空题:本大题共10个小题,每小题3分,共计30分。

  13.化简 的结果是__________.

  14.如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x=__________.

  15.如图,AF=DC,BC‖EF,若添加条件__________,则可利用“ASA”说明△ABC≌△DEF.

  16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE‖AC,DE交AB于点E,M为BE的中点,连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下,图中的等腰三角形是__________.(写出一个即可)

  17.如图,已知AB‖CF,E为DF的中点,若AB=11cm,CF=5cm,则BD=__________cm.

  18.如图,AB‖CD,O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=4,则两平行线间的距离为__________.

  19.如图,AE‖BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,则∠EAB=__________度.

  20.化简: =__________.

  21.已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c.①以点B为圆心,c为半径圆弧;②连接AB,AC;③作BC=a;④以C点为圆心,b为半径画弧,两弧交于点A.作法的合理顺序是__________.

  22.分式 的最简公分母为__________.

  三、解答题:本大题满分54分。

  23.已知线段a、b.求作等腰三角形ABC,使底边AB=a,底边上的高CD=b.(要求用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

  24.如图,AC、BD相交于点O,AC=BD,AB=CD,求证:∠A=∠D.

  25.如图,AC比AB短2cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是12cm,求AB和AC的长.

  26.(16分)计算:

  (1)

  (2)(1+ )

  (3)

  (4) ÷ .

  27.如图,点B在线段AD上,BC‖DE,AB=ED,BC=DB.求证:∠A=∠E.

  28.如图,△ABC为等边三角形,∠1=∠2=∠3.

  (1)求∠BEC的度数;

  (2)△DEF是等边三角形吗?为什么?

  29.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.

  (1)求证:DE平分∠BDC;

  (2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:ME=BD.

  2015-2016学年山东省潍坊市高密市八年级(上)期中数学试卷

  一、选择题:每小题3分,共36分。请把正确答案的序号填入表中。

  1.若分式 有意义,则x的取值应满足( )

  A.x≠3 B.x≠4 C.x≠-4 D.x≠-3

  【考点】分式有意义的条件.

  【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式,解不等式即可.

  【解答】解:由题意得 ,x+4≠0,

  解得x≠-4.

  故选:C.

  【点评】本题考查的是分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.

  2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )

  A. B. C. D.

  【考点】轴对称图形.

  【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

  【解答】解:A、是轴对称图形,故A符合题意;

  B、不是轴对称图形,故B不符合题意;

  C、不是轴对称图形,故C不符合题意;

  D、不是轴对称图形,故D不符合题意.

  故选:A.

  【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.

  3.若 ,则M的值是( )

  A.x-1 B.x+1 C. D.1

  【考点】分式的基本性质.

  【分析】根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零数或(整式),结果不变,可得答案.

  【解答】解: ,得

  两边都除以(x-1),

  M=x+1,

  故选:B.

  【点评】本题考查了分式的基本性质,分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零数或(整式),结果不变.

  4.下列图形中,△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )

  A. B. C. D.

  【考点】轴对称的性质.

  【专题】压轴题.

  【分析】认真观察各选项给出的图形,根据轴对称的性质,对称轴垂直平分线对应点的连线进行判断.

  【解答】解:根据轴对称的性质,结合四个选项,只有B选项中对应点的连线被对称轴MN垂直平分,所以B是符合要求的.

  故选B.

  【点评】本题考查轴对称的性质;应用对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分解题是正确解答本题的关键.

  5.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是( )

  A.105° B.120° C.135° D.150°

  【考点】等边三角形的性质;三角形内角和定理.

  【专题】计算题.

  【分析】根据等边三角形三线合一的性质,高线即是角平分线,再利用三角形的内角和定理知钝角的度数是120°.

  【解答】解:∵等边△ABC的两条高线相交于O

  ∴∠OAB=∠OBA=30°

  ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°

  故选B

  【点评】此题主要考查了等边三角形三线合一的性质,比较简单.

  6.下列式子中,是分式的是( )

  A. B. C. D.-

  【考点】分式的定义.

  【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不 含有字母则不是分式.

  【解答】解:A、 是整式,故A错误;

  B、 是分式,故B正确;

  C、分母不含字母是整式,故C错误;

  D、分母不含字母是整式,故D错误;

  故选:B.

  【点评】本题主要考查分式的定义,注意π不是字母,是常数,所以 不是分式,是整式.

  7.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是( )

  A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短

  C.两点确定一条直线 D.垂线段最短

  【考点】三角形的稳定性.

  【分析】根据加上窗钩,可以构成三角形的形状,故可用三角形的稳定性解释.

  【解答】解:构成△AOB,这里所运用的几何原理是三角形的稳定性.

  故选:A.

  【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用.

  8.下列条件中一定能使△ABC≌△DEF成立的是( )

  A.两边对应相等 B.面积相等 C.三边对应相等 D.周长相等

  【考点】全等三角形的判定.

  【分析】根据全等三角形的判定方法,分析、判断即可.

  【解答】解:根据三边对应相等即SSS即可证明△ABC≌△DEF,

  故选C

  【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等.

  9.下列说法:①全等三角形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长相等,面积不相等,其中正确的为( )

  A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④

  【考点】全等三角形的性质.

  【分析】全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,全等三角形的对应角相等,对应边相等,根据以上内容判断即可.

  【解答】解:∵全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,

  ∴全等三角形的形状相同、大小相等,∴①正确;

  ∵全等三角形的对应边相等,∴②正确;

  ∵全等三角形的对应角相等,∴③正确;

  ∵全等三角形的对应边相等,全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,

  ∴全等三角形的周长相等,面积相等,∴④错误;

  故选B.

  【点评】本题考查了全等三角形的性质和定义的应 用,能运用全等三角形的性质和定义进行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的对应角相等,对应边相等.

  10.如图,△ACB≌△A1CB1,∠BCB1=40°,则∠ACA1的度数为( )

  A.20° B.30° C.35° D.40°

  【考点】全等三角形的性质.

  【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠A1CB1,求出∠ACA1=∠BCB1,代入求出即可.

  【解答】解:∵△ACB≌△A1CB1,

  ∴∠ACB=∠A1CB1,

  ∴∠ACB-∠A1CB=∠A1CB1-∠A1CB,

  ∴∠ACA1=∠BCB1,

  ∵∠BCB1=40°,

  ∴∠ACA1=40°,

  故选D.

  【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用,能正确运用全等三角形的性质定理进行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的对应角相等,对应边相等.

  11.如图所示,BD、AC交于点O,若OA=OD,用SAS说明△AOB≌△DOC,还需( )

  A.AB=DC B.OB=OC C.∠BAD=∠ADC D.∠AOB=∠DOC

  【考点】全等三角形的判定.

  【分析】要用SAS说明△AOB≌△DOC,已知有一组边OA,OD对应相等,且有一组对顶角∠AOB,∠DOC相等,从而再添加OB=OC即满足条件.

  【解答】解:还需OB=OC

  ∵OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC

  ∴△AOB≌△DOC(SAS)

  故选B.

  【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用,做题时要根据给出的已知条件在图形的位置来确定要添加的条件,对选项要逐个验证.

  12.利用尺规作图不能唯一作出三角形的是( )

  A.已知三边 B.已知两边及夹角

  C.已知两角及夹边 D.已知两边及其中一边的对角

  【考点】作图—复杂作图.

  【分析】依据了全等三角形的判定判断.

  【解答】解:A、边边边(SSS);B、两边夹一角(SAS);C、两角夹一边(ASA)都是成立的.只有D是错误的,故选D.

  【点评】本题主要考查了作图的理论依据.

  二、填空题:本大题共10个小题,每小题3分,共计30分。

  13.化简 的结果是1-x.

  【考点】分式的乘除法.

  【分析】本题考查的是分式的除法运算,做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算,而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解,然后约分.

  【解答】解:原式= .

  【点评】分式的除法计算首先要转化为乘法运算,然后对式子进行化简,化简的方法就是把分子、分母进行分解因式,然后进行约分.分式的乘除运算实际就是分式的约分.

  14.如图,△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x=20.

  【考点】全等三角形的性质.

  【专题】压轴题.

  【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°,然后根据全等三角形对应边相等解答.

  【解答】解:如图,∠A=180°-50°-60°=70°,

  ∵△ABC≌△DEF,

  ∴EF=BC=20,

  即x=20.

  故答案为:20.

  【点评】本题考查了全等三角形的性质,根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键.

  15.如图,AF=DC,BC‖EF,若添加条件∠A=∠D,则可利用“ASA”说明△ABC≌△DEF.

  【考点】全等三角形的判定.

  【分析】此题是一道开放型的题目,答案不唯一,只要添加一个条件符合全等三角形的判定定理即可.

  【解答】解:∠A=∠D,

  理由是:∵AF=CD,

  ∴AF+FC=CD+FC,

  ∴AC=DF,

  ∵BC‖EF,

  ∴∠BCA=∠EFD,

  在△ABC和△DEF中,

  ,

  ∴△ABC≌△DEF(ASA).

  故答案为:∠A=∠D.

  【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.

  16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE‖AC,DE交AB于点E,M为BE的中点,连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下,图中的等腰三角形是△EAD或△MBD或△MDE.(写出一个即可)

  【考点】等腰三角形的判定;平行线的性质;角平分线的性质;直角三角形斜边上的中线.

  【专题】压轴题;开放型.

  【分析】根据角平分线的性质,得出∠BAD=∠DAC,由平行线的性质得出∠EDA=∠DAC,再由直角三角形斜边上的中线的性质解答即可.

  【解答】解:∵AD平分∠BAC,

  ∴∠BAD=∠DAC,

  ∵DE‖AC,

  ∴∠EDA=∠DAC,

  ∵∠EDA=∠EAD,

  ∴ED=EA,

  ∴△EAD是 等腰三角形,

  ∵在Rt△EBD中,点M为斜边BE的中点,

  ∴BM=ME=DM,

  ∴△MBD,△MDE是等腰三角形.

  故图中的等腰三角形是△EAD,△MBD,△MDE.

  故答案为:△EAD或△MBD或△MDE.

  【点评】本题考查角平分线的性质,平行线的性质,直角三角形斜边上的中线的性质等知识点.规律总结:本题设计到了两个中考必考的小知识点:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,“角平分线+平行线”后者的主要应用模式是角平分线平分一个角,而两直线平分,内错角相等,从而出现新的等角,进而根据等角对等边解决问题.

  17.如图,已知AB‖CF,E为DF的中点,若AB=11cm,CF=5cm,则BD=6cm.

  【考点】全等三角形的判定与性质.

  【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ACF,∠AED=∠CEF,进而利用全等三角形的判定与性质得出答案.

  【解答】解:∵AB‖CF,

  ∴∠A=∠ACF,∠AED=∠CEF,

  在△AED和△CEF中

  ,

  ∴△AED≌△CEF(AAS),

  ∴FC=AD=5cm,

  ∴BD=AB-AD=11-5=6(cm).

  故答案为:6.

  【点评】此题主要考查了全 等三角形的判定与性质,正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

  18.如图,AB‖CD,O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=4,则两平行线间的距离为8.

  【考点】角平分线的性质;平行线之间的距离.

  【分析】过点O作MN,MN⊥AB于M,求出MN⊥CD,则MN的长度是AB和CD之间的距离;然后根据角平分线的性质,分别求出OM、ON的长度是多少,再把它们求和即可.

  【解答】解:如图,过点O作MN,MN⊥AB于M,交CD于N,

  ∵AB‖CD,

  ∴MN⊥CD,

  ∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AB,OE⊥AC,OE=4,

  ∴OM=OE=4,

  ∵CO是∠ACD的平分线,OE⊥AC,ON⊥CD,

  ∴ON=OE=4,

  ∴MN=OM+ON=8,

  即AB与CD之间的距离是8.

  故答案为:8.

  【点评】此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①角的平分线上的点到角的两边的距离相等,②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离,③平行线间的距离处处相等.

  19.如图,AE‖BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,则∠EAB=40度.

  【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质.

  【分析】首先利用∠ACD=110°求得∠ACB与∠BAC的度数,然后利用三角形内角和定理求得∠B的度数,然后利用平行线的性质求得结论即可.

  【解答】解:∵AB=BC,

  ∴∠ACB=∠BAC

  ∵∠ACD=110°

  ∴∠ACB=∠BAC=70°

  ∴∠B=∠40°,

  ∵AE‖BD,

  ∴∠EAB=40°,

  故答案为40.

  【点评】本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质,题目相对比较简单,属于基础题.

  20.化简: =x+2.

  【考点】分式的加减法.

  【专题】计算题.

  【分析】先转化为同分母(x-2)的分式相加减,然后约分即可得解.

  【解答】解: +

  = -

  =

  =x+2.

  故答案为:x+2.

  【点评】本题考查了分式的加减法,把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键.

  21.已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c.①以点B为圆心,c为半径圆弧;②连接AB,AC;③作BC=a;④以C点为圆心,b为半径画弧,两弧交于点A.作法的合理顺序是③①④②.

  【考点】作图—复杂作图.

  【专题】作图题.

  【分析】作△ABC,先确定一 边,然后确定第三个顶点.

  【解答】解:先作BC=a,再以点B为圆心,c为半径圆弧;接着以C点为圆心,b为半径画弧,两弧交于点A,然后连接AB,AC,则△ABC为所作.

  故答案为③①④②.

  【点评】本题考查了作图-复杂作图:复杂作 图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.

  22.分式 的最简公分母为10xy2.

  【考点】最简公分母.

  【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.

  【解答】解:因为系数的最小公倍数为10,x最高次幂为1,y的最高次幂为2,所以最简公分母为10xy2.

  【点评】此题主要考查了学生的最简公分母的定义即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.

  三、解答题:本大题满分54分。

  23.已知线段a、b.求作等腰三角形ABC,使底边AB=a,底边上的高CD=b.(要求用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

  【考点】作图—复杂作图.

  【专题】计算题.

  【分析】(1)作AB=a;

  (2)作AB的垂直平分线CF,垂足为C;

  (3)在CF上截取CD=b;

  (4)连接AD、BD,即可得等腰三角形.

  【解答】解:如图,△ABD即为所求三角形.

  【点评】本题考查了复杂作图,要熟悉线段垂直平分线的作法和等腰 三角形的判定和性质.难度不大,要注意不能用刻度尺测量.

  24.如图,AC、BD相交于点O,AC=BD,AB=CD,求证:∠A=∠D.

  【考点】全等三角形的判定与性质.

  【专题】证明题.

  【分析】连接B、C两点,要证∠A=∠D.则证明△ABC≌△DCB即可,由题中AC=BD,AB=CD,BC是公共边即可得△ABC≌△DCB,进而的∠A=∠D

  【解答】

  证明:连接B、C两点,

  在△ABC和△DCB中,

  ∵AC=BD,AB=CD,BC是公共边,

  ∴△ABC≌△DCB,

  ∴∠A=∠D.

  【点评】这一题考查了全等三角形的判定和性质,同学们应灵活掌握.

  25.如图,AC比AB短2cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是12cm,求AB和AC的长.

  【考点】线段垂直平分线的性质.

  【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD=DC,根据三角形周长求出AB+AC=12cm,根据已知得出AC=AB-2cm,即可求出答案.

  【解答】解:∵BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,

  ∴BD=DC,

  ∵△ACD的周长是12cm,

  ∴AD+DC+AC=12cm,

  ∴AD+BD+AC=AB+AC=12cm,

  ∵AC比AB短2cm,

  ∴AC=AB-2cm,

  ∴AC=5cm,AB=7cm.

  【点评】本题考查了解二元一次方程组,线段垂直平分线性质的应用,能得出关于AB、AC的方程是解此题的关键,注意:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

  26.(16分)计算:

  (1)

  (2)(1+ )

  (3)

  (4) ÷ .

  【考点】分式的混合运算.

  【分析】(1)先因式分解,再约分即可;

  (2)先计算括号里面的,再因式分解,再约分即可;

  (3)先因式分解,再约分,最后算加减即可;

  (4)先算括号里面的,再因式分解,约分即可;

  【解答】解:(1)原式= ?

  =2x;

  (2)原式= ?

  = ;

  ( 3 )原式= - ?

  = -

  =

  =

  =- ;

  (4)原式= ÷

  = ?

  = .

  【点评】本题考查的是分式的混合运算,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

  27.如图,点B在线段AD上,BC‖DE,AB=ED,BC=DB.求证:∠A=∠E.

  【考点】全等三角形的判定与性质.

  【专题】证明题.

  【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB,则对应角相等:∠A=∠E.

  【解答】证明:如图,∵BC‖DE,

  ∴∠ABC=∠BDE.

  在△ABC与△EDB中,

  ∴△ABC≌△EDB (SAS),

  ∴∠A=∠E.

  【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.

  28.如图,△ABC为等边三角形,∠1=∠2=∠3.

  (1)求∠BEC的度数;

  (2)△DEF是等边三角形吗?为什么?

  【考点】等边三角形的判定与性质.

  【分析】(1)求∠BEC的度数,可利用180°减去∠BEC的外角进行求解,只要求得∠BEF即可,利用三角形的外角的性质可得答案.

  (2)根据三个内角都是60度的三角形是等边三角形进行证明.

  【解答】解:(1)∵△ABC为等边三角形,

  ∴∠ACB=60°,

  ∴∠3+∠BCE=60°.

  ∵∠2=∠3,

  ∴∠BEF=∠2+∠BCE=60°,

  ∴∠BEC=180°-(∠2+∠BCE)=120°.

  (2)△DEF是等边三角形.理由如下:

  由(1)知,∠BEC=120°,则∠DEF=60°.

  同理,∠EFD=∠F DE=60°,

  ∴△DEF是等边三角形.

  【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质;利用外角的性质得到∠BEF=60°是正确解答本题的关键.

  29.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.

  (1)求证:DE平分∠BDC;

  (2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:ME=BD.

  【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

  【专题】证明题;压轴题.

  【分析】(1)根据等腰直角△ABC,求出CD是边AB的垂直平分线,求出CD平分∠ACB,根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可.

  (2)连接MC,可得△MDC是等边三角形,可求证∠EMC=∠ADC.再证明△ADC≌△EMC即可.

  【解答】证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,

  ∴∠BAC=∠ABC=45°,

  ∵∠CAD=∠CBD=15°,

  ∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,∠ABD=∠ABC-15°=30°,

  ∴BD=AD,

  ∴D在AB的垂直平分线上,

  ∵AC=BC,

  ∴C也在AB的垂直平分线上,

  即直线CD是AB的垂直平分线,

  ∴∠ACD=∠BCD=45°,

  ∴∠CDE=15°+45°=60°,

  ∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;

  ∴∠CDE=∠BDE,

  即DE平分∠BDC.

  (2)如图,连接MC.

  ∵DC=DM,且∠MDC=60°,

  ∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.∠DMC=∠MDC=60°,

  ∵∠ADC+∠MDC=180°,∠DMC+∠EMC=180°,

  ∴∠EMC=∠ADC.

  又∵CE=CA,

  ∴∠DAC=∠CEM.

  在△ADC与△EMC中,

  ,

  ∴△ADC≌△EMC(AAS),

  ∴ME=AD=BD.

  【点评】此题主要考查等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质的等知识点,难易程度适中,是一道很典型的题目.